Übungen zur Vorlesung über Komplexe Flächen WS 92/93 Aufgabenblatt 6

28)

i)Sei

{0} → V_{1} → … → V_{n} → {0}

eine lange exakte Sequenz endlich-dimensionaler Vektorräume. Zeige, daß ∑_{k}(−1)^{k} dim V_{k} = 0.

ii)Sei 0 → A_{1} → A_{2} → A_{3} → 0 eine kurze exakte Sequenz von Garben von Vektorräumen. Unter der Annahme, daß ∑_{k} dim H^{k}(X, A_{i}) < ∞ für alle i zeige man, daß ∑_{i}(−1)^{i}χ(A_{i}) = 0 mit χ(A_{i}) = ∑_{k}(−1)^{k} dim H^{k}(X, A_{i}).

iii)Zeige dasselbe für eine lange exakte Sequenz von Garben von Vektorräumen

0 → A_{1} → … → A_{n} → 0.

29)

i)Seien X, Y Riemannsche Flächen, g_{X} > g_{Y}. Zeige, daß jede holomorphe Abbildung von Y nach X konstant ist.

ii)Seien X, Y Riemannsche Flächen von demselben Geschlecht g > 1. Zeige, daß jede

nichtkonstante holomorphe Abbildung von X nach Y bereits biholomorph ist. 30)

i)Zeige mit Riemann-Roch, daß für Riemannsche Flächen gilt:

max_{n} dim ϕ_{L^{n}}(X) = lim sup_{n} \frac{log h^{0}(X, L^{n})}{log n}.

ii)Bestimme mit Riemann-Roch die Kodaira-Dimension in Abhängigkeit vom Ge-

schlecht.

31) Zeige, daß jede Riemannsche Fläche in ℙ_{3} einbettbar ist.

32) Definition: Eine Garbe S auf einem topologischen Raum X heißt Wolkenkratzergarbe falls es eine diskrete Menge D ⊂ X gibt, sodaß S(U) = {0} für jede offene Menge U ⊂ X mit U ∩ D = {}. Zeige, daß dann

S(W) = ⨁_{x∈W ∩D} S_{x}

für jede offene Menge W ⊂ X. Zeige ferner, daß H^{k}(X, S) = {0} für alle k > 0.